応用数学：長距離幾何学と量子複雑性における普遍性

物理学では、短いスケールでは根本的に異なる2つの系が、著しくよく似た巨視的挙動を示すことがあり、そうした系は、同一の長距離普遍性クラスの一部である。今回我々は、この視点を幾何学に適用し、群多様体上の等質計量をそれらの長距離特性によって分類するというプログラムを開始した。我々は、低次元リー群上の多くの計量が、著しく異なる短距離特性を持つが、長距離ではほぼ同じ距離関数を持つことを明らかにし、この現象が高次元ではさらにロバストであることを示す証拠を提供する。特に興味深いこうした考えを物理学と計算機科学に適用するのが、複雑性幾何学、つまりリーマン幾何学を用いた量子計算複雑性の研究である。我々は、量子複雑性の定義の大きな普遍性クラスが存在し、それぞれの定義が互いに線形に関連していて、一般的に考えられているよりもはるかに精微な同値性であると主張する。我々は、複雑性幾何学の広範なクラスを記述する、より大きな複雑性の所で新たに有効な計量が出現し、これは微視的なペナルティー係数のさまざまな選択には敏感でないと予想する。我々はまた、量子重力における最近の予想への影響について考察する。

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