Nature Physics 2,501 (2006) | doi: 10.1038/nphys378
詰め込みにくいのは
1972年、M Gardnerへの私信で、S Ulamは、全く同じ球体をどのように詰め込んでも、その密度は最適な配置で詰め込んだ他の凸体より常に低いと推測した。
しかし、J ConwayとS Torquatoはその反例を発見したようだ。正四面体ではより大きな隙間が残ることが示唆されている（Proc. Natl Acad. Sci. 103, 10612-10617; 2006）。それどころか彼らは、これが全ての凸体の中で最も低い充填密度を持ちうるのではないかと考えている。
最も密に詰め込んだ場合、球体は空間の約74%を占める。正確には π/√18で、1611年にケプラーが提案したことは良く知られている（しかし証明されたのはつい最近のことである）。しかしながら、回転自由度を有する物体を含めると問題はさらに難しくなる。ConwayとTorquatoは可能性を系統的に調べ、四面体の方向や位置を変えてできるだけ接近させて、72%に近い密度を得た。余地が幾分残っているものの、球体の密度である74%には達しそうにないことを発見したと、彼らは述べている。
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